Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $t$ из $2 t + t r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $2 t$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 2 + t (r^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Этап 1.1.4

Умножим $t$ на $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $r$ из $4 r + r t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $r$ из $4 r$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $r$ из $r t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $r$ из $r \cdot 4 + r (t^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

Этап 1.2.4

Умножим $r$ на $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{t}{4 + t^{2}}$ на $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $r$ из $(4 + t^{2}) r$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $2 + r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $2 + r^{2}$ из $t (2 + r^{2})$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 r d r$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 + r^{2}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 r$ .

$2 r$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $4 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 t$ .

$2 t$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

Этап 3.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $r$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

Этап 3.7

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Этап 3.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Сократим общий множитель $| 4 + t^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Этап 3.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Этап 3.7.4

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ .

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Этап 3.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Этап 3.7.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ .

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Этап 3.7.4.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

Этап 3.7.4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$