Математический анализ Примеры

$2 x \frac{d y}{d x} = x + y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x \frac{d y}{d x} - y = x$

Этап 1.2

Разделим каждый член $2 x \frac{d y}{d x} - y = x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.4.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Этап 1.7

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x} y = \frac{1}{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{y}{2 x}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Объединим.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 7.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 7.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2.1.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2.1.2.4

Разделим $2$ на $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Этап 8.3.2.1.3

Упростим $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$