Математический анализ Примеры

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Этап 1

Добавим $7 d x$ к обеим частям уравнения.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 - x^{2}$ из $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ и $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 3 y$ . Тогда $d u_{1} = 3 d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 3 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 4.2.1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.2

Объединим $\cos (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5.2

Разделим $(B) (1 + x)$ на $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Этап 4.3.2.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Этап 4.3.2.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Этап 4.3.2.1.7.4

Перенесем $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Этап 4.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.5

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Этап 4.3.8

Пусть $u_{3} = 1 - x$ . Тогда $d u_{3} = - d x$ , следовательно $- d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u_{3} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Этап 4.3.11

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Этап 4.3.12

Упростим.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.14

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражения в уравнении.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Этап 5.1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Этап 5.1.2.1.1.2

Объединим $\ln (| 1 - x |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Этап 5.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Этап 5.1.2.1.3

Объединим $7$ и $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Этап 5.1.2.1.4

Умножим $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Этап 5.1.2.1.4.2

Объединим $- 7$ и $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Этап 5.1.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Этап 5.2

Каждый член в $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ на $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $3$ на $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ в числитель.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $3$ на $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Этап 5.2.3.1.5

Перенесем $6$ влево от $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Упростим $21 \ln (| 1 + x |)$ путем переноса $21$ под логарифм.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Этап 5.3.1.1.2

Упростим $- 21 \ln (| 1 - x |)$ путем переноса $21$ под логарифм.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Этап 5.3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Этап 5.5

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Этап 5.6

Вычтем $6 C$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Этап 5.7

Разделим каждый член $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $\sin (3 y)$ на $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Этап 5.7.3.1.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6 C$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Этап 5.7.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Этап 5.7.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Этап 5.7.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Этап 5.7.3.1.2.2.4

Разделим $3 C$ на $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Этап 5.8

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Этап 5.9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ .

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.3

Применим правило умножения к $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.4

Перемножим экспоненты в ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.4.2

Объединим $21$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.5

Перемножим экспоненты в ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Этап 5.9.1.5.2

Объединим $21$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Этап 5.10

Разделим каждый член $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Разделим каждый член $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Этап 5.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Этап 5.10.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$