Математический анализ Примеры

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Этап 5.2

Упростим $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Этап 5.2.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 5.2.4

Умножим $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.2.5.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 5.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 5.2.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.2.5.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.2.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.2.5.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.5.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Этап 5.2.5.5.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Этап 5.2.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Этап 5.2.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Этап 5.2.8

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$