Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 10$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ в виде $5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $5$ на $4$ .

$y + C_{1} = 20 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $10$ вместо $y$ в $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$10 = 20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$ .

$20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$20 \cdot 1 + K = 10$

Этап 4.2.2

Умножим $20$ на $1$ .

$20 + K = 10$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$K = 10 - 20$

Этап 4.3.2

Вычтем $20$ из $10$ .

$K = - 10$

Этап 5

Подставим $- 10$ вместо $K$ в $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 10$ вместо $K$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} - 10$