Математический анализ Примеры

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Этап 1

Добавим $y d x$ к обеим частям уравнения.

$(1 - x) d y = y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 - x$ из $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4.3.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Этап 5.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $y$ на $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Этап 5.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| y - y x |) = C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (| y - y x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

Этап 5.8.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Этап 5.8.3

Вынесем множитель $y$ из $y - y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Этап 5.8.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Этап 5.8.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Этап 5.8.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Этап 5.8.5

Разделим каждый член $y (1 - x) = \pm e^{C}$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = \pm e^{C}$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Этап 5.8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Этап 5.8.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{1 - x}$