Математический анализ Примеры

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(x - 3) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 3$ и $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Этап 5.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ на $x - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ на $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$