Математический анализ Примеры

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r t}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Этап 2.5

Вынесем $e^{r t}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $e^{r t}$ из $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $e^{r t}$ из $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $e^{r t}$ из $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $e^{r t}$ из $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $e^{r t}$ из $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Этап 2.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $16$ и $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.3

Добавим $16$ и $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.4.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Этап 3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.3

Добавим $16$ и $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.5.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Этап 3.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Этап 3.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $t$ и $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Этап 6.2

Объединим $t$ и $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$