Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = - 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $- 2$ вместо $s$ в $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$- 2 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 2$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = - 2$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $0$ .

$0 + \sin (0) + K = - 2$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 0 + K = - 2$

Этап 4.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = - 2$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = - 2$

Этап 5

Подставим $- 2$ вместо $K$ в $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2$ вместо $K$ .

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) - 2$

Этап 5.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $t^{2}$ .

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) - 2$