Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $16$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $16$ и $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $π$ вместо $t$ и $- 3$ вместо $v$ в $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Этап 4.2.1.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $- - 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Этап 4.2.1.2

Добавим $8 π^{2}$ и $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Этап 4.3

Вычтем $8 π^{2}$ из обеих частей уравнения.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Этап 5

Подставим $- 3 - 8 π^{2}$ вместо $K$ в $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3 - 8 π^{2}$ вместо $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$