Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\cos (y) + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{5} - 2 x + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{5} - 2 x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.2.5

Изменим порядок членов.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = x^{6} - x^{2} + x + C_{7}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} + \sin (y) = x^{6} - x^{2} + x + K$