Математический анализ Примеры

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ на $2 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ на $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

Этап 1.3

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.3.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.1.3

Умножим $\frac{1}{V}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

Этап 6.1.1.1.4

Перенесем $2$ влево от $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $V$ из $V - V \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $V$ из $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1.1

Изменим порядок $- \frac{1}{2 V}$ и $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.2

Чтобы записать $\frac{V}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3

Умножим $\frac{V}{2}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Этап 6.1.1.3.3.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2

Умножим $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $2 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ в числитель.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.3.2

Вынесем множитель $2 V$ из $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.3.3

Вынесем множитель $2 V$ из $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Этап 6.1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $V^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Этап 6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = V^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 V d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = V^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Этап 6.2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $V^{2} + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$2 V + 0$

Этап 6.2.2.2.1.5

Добавим $2 V$ и $0$ .

$2 V$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Этап 6.3.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Этап 6.3.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Этап 6.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Этап 6.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Этап 6.3.6

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Этап 6.3.7

Перепишем $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Этап 6.3.8

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Перепишем уравнение в виде $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Этап 6.3.8.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Этап 6.3.8.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Этап 6.3.8.4

Разделим каждый член $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.1

Разделим каждый член $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ на $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 6.3.8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 6.3.8.4.2.1.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 6.3.8.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 6.3.8.4.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Этап 6.3.8.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Этап 6.3.8.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.6.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 6.3.8.6.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Этап 6.3.8.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Этап 6.3.8.6.4

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Этап 6.3.8.6.5

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 6.3.8.6.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.6.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 6.3.8.6.6.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 6.3.8.6.6.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 6.3.8.6.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.8.6.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 6.3.8.6.6.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.6.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.8.6.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.8.6.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.8.6.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.6.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.8.6.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 6.3.8.6.6.6.5

Упростим.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Этап 6.3.8.6.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Этап 6.3.8.6.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$