Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ , $y (9) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $9$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = 9^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $9^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$9^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3^{1} + K = 0$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$3 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$K = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $K$ в $y = x^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} - 3$