Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 - x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{2}{5 - x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2}{5 - x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{5 - x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{5 - x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 5 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 5 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$y + C_{1} = - 2 \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - 2 \ln (| 5 - x |) + C$