Математический анализ Примеры

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $6 x + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Поскольку $6 x$ является константой относительно $y$ , производная $6 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y (2 x + 3 y)$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.7

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 y = 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $y (2 x + 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

Этап 5.1.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

Этап 5.1.3

Изменим порядок $y$ и $2$ .

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

Этап 5.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

Этап 5.1.5

Изменим порядок $y$ и $3$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

Этап 5.1.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

Этап 5.1.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

Этап 5.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

Этап 5.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

Этап 5.1.10

Изменим порядок $2 y x$ и $3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Этап 5.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

Этап 5.5

Поскольку $2 x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.5

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.7

Умножим $2$ на $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.8.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Этап 5.8.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.2.2

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Этап 10

Найдем первообразную $6 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Этап 10.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 6 \int x d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$