Математический анализ Примеры

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 (x + y)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Этап 2.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = - 2$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Этап 4.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Этап 4.3.2

Разделим $- 2 + 0$ на $1$ .

$- 2 + 0$

Этап 4.3.3

Подставим $1$ вместо $M$ .

$- 2$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - 2 d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Этап 6

Умножим $1$ на $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = e^{- 2 y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $e^{- 2 y} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $e^{- 2 y} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.3.6

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $2 x e^{- 2 y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Добавим $- 2 x e^{- 2 y}$ и $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- 2 y e^{- 2 y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Этап 13

Найдем первообразную $- 2 y e^{- 2 y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Этап 13.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Объединим $e^{- 2 y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Этап 13.5.2

Объединим $y$ и $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Этап 13.5.3

Объединим $e^{- 2 y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Этап 13.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Этап 13.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Этап 13.7.2

Умножим $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ на $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Этап 13.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Этап 13.9

Пусть $u = - 2 y$ . Тогда $d u = - 2 d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Пусть $u = - 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1.1

Дифференцируем $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 13.9.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 13.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 13.9.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 13.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Этап 13.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Этап 13.10.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 13.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Этап 13.12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Этап 13.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.13.1

Избавимся от скобок.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Этап 13.13.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 13.13.3

Умножим $2$ на $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 13.14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 13.15

Перепишем $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 13.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.16.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 13.16.2

Объединим $e^{- 2 y}$ и $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 13.16.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Этап 13.17

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ в числитель.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.2.3

Сократим общий множитель.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.2.4

Перепишем это выражение.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.4

Умножим $e^{- 2 y}$ на $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Этап 13.18.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ в числитель.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Этап 13.18.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Этап 13.18.5.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 13.18.5.4

Сократим общий множитель.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 13.18.5.5

Перепишем это выражение.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.6.2

Умножим $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.6.2.2

Умножим $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ на $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.7

Объединим $e^{- 2 y} y$ и $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.7.1

Изменим порядок $e^{- 2 y}$ и $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.7.2

Чтобы записать $y e^{- 2 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.7.3

Объединим $y e^{- 2 y}$ и $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.8.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.18.8.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 13.18.8.1.2

Умножим на $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Этап 13.18.8.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Этап 13.18.8.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 13.19

Изменим порядок членов.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Этап 15.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Этап 15.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Этап 15.1.4

Умножим $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.5.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.6

Объединим $e^{- 2 y} y$ и $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1

Изменим порядок $e^{- 2 y}$ и $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.6.2

Чтобы записать $y e^{- 2 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.6.3

Объединим $y e^{- 2 y}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.7.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.7.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Этап 15.1.7.1.2

Умножим на $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Этап 15.1.7.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Этап 15.1.7.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.2

Чтобы записать $e^{- 2 y} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.3

Объединим $e^{- 2 y} x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.5.1.2

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Этап 15.5.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$