Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

Этап 3.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

Этап 3.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (| y x + y |) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

Этап 3.8.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

Этап 3.8.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Этап 3.8.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Этап 3.8.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

Этап 3.8.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

Этап 3.8.4

Разделим каждый член $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Разделим каждый член $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ на $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Этап 3.8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Этап 3.8.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$