Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} = 9.8 - 0.196 v$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{9.8 - 0.196 v}$ .

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $9.8 - 0.196 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{9.8 - 0.196 v} (9.8 - 0.196 v)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{9.8 - 0.196 v} d v = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 9.8 - 0.196 v$ . Тогда $d u = - 0.196 d v$ , следовательно $\frac{1}{- 0.196} d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 9.8 - 0.196 v$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $9.8 - 0.196 v$ .

$\frac{d}{d v} [9.8 - 0.196 v]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $9.8 - 0.196 v$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

$\frac{d}{d v} [9.8] + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $9.8$ является константой относительно $v$ , производная $9.8$ относительно $v$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- 0.196 v]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- 0.196 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 0.196$ является константой относительно $v$ , производная $- 0.196 v$ по $v$ равна $- 0.196 \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - 0.196 \frac{d}{d v} [v]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 0.196 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 0.196$ на $1$ .

$0 - 0.196$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $0.196$ из $0$ .

$- 0.196$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.196} d u = \int d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.196}) d u = \int d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{0.196}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.196} d u = \int d t$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $0.196$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{0.196 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{0.196}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.196}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{0.196} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- \frac{1}{0.196} (\ln (| u |) + C_{1})$ в виде $- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $5.10204081$ .

$- 5.10204081 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $9.8 - 0.196 v$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ на $- 5.10204081$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |) = t + C$ на $- 5.10204081$ .

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 5.10204081$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5.10204081 \ln (| 9.8 - 0.196 v |)}{- 5.10204081} = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 9.8 - 0.196 v |)$ на $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = \frac{t}{- 5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим на $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем множитель $5.10204081$ из $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - \frac{1 t}{5.10204081 (1)} + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.4

Разделим дроби.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.5

Разделим $1$ на $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.6

Разделим $t$ на $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - (0.196 t) + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.7

Умножим $0.196$ на $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t + \frac{C}{- 5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{C}{5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.9

Умножим на $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081}$

Этап 3.1.3.1.10

Вынесем множитель $5.10204081$ из $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - \frac{1 C}{5.10204081 (1)}$

Этап 3.1.3.1.11

Разделим дроби.

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (\frac{1}{5.10204081} \cdot \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.12

Разделим $1$ на $5.10204081$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.13

Разделим $C$ на $1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - (0.196 C)$

Этап 3.1.3.1.14

Умножим $0.196$ на $- 1$ .

$\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 9.8 - 0.196 v |)} = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 9.8 - 0.196 v |) = - 0.196 t - 0.196 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.196 t - 0.196 C} = | 9.8 - 0.196 v |$

Этап 3.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ .

$| 9.8 - 0.196 v | = e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$9.8 - 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $9.8$ из обеих частей уравнения.

$- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ на $- 0.196$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- 0.196 v = \pm e^{- 0.196 t - 0.196 C} - 9.8$ на $- 0.196$ .

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.196$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.196 v}{- 0.196} = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{- 0.196}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Умножим на $1$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Вынесем множитель $0.196$ из $0.196$ .

$v = \frac{1 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C})}{0.196 (1)} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Разделим дроби.

$v = \frac{1}{0.196} \cdot \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим $1$ на $0.196$ .

$v = 5.10204081 \frac{\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}}{1} + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}$ на $1$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + \frac{- 9.8}{- 0.196}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $- 9.8$ на $- 0.196$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t - 0.196 C}) + 50$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t + C}) + 50$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 0.196 t + C}$ в виде $e^{- 0.196 t} e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{- 0.196 t} e^{C}) + 50$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 0.196 t}$ и $e^{C}$ .

$v = 5.10204081 (\pm e^{C} e^{- 0.196 t}) + 50$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = 5.10204081 (C e^{- 0.196 t}) + 50$