Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (y - 3)$ ; where $y (0) = 4$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{(y + 2) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $(y + 2) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y + 2}$

Этап 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (y - 3)$ на $1$ .

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B) (y + 2)$ на $1$ .

$1 = A y - 3 A + (B) (y + 2)$

Этап 2.2.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot 2$

Этап 2.2.1.1.6.6

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$1 = A y - 3 A + B y + 2 B$

Этап 2.2.1.1.7

Перенесем $- 3 A$ .

$1 = A y + B y - 3 A + 2 B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A + 2 B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A + 2 B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 3 A + 2 B$ на $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 3 (- B) + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 = 3 B + 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Добавим $3 B$ и $2 B$ .

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 B = 1$ .

$5 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $5 B = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $5 B = 1$ на $5$ .

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{5}$ .

$A = - (\frac{1}{5})$

$B = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{5}$ .

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{y + 2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{(y + 2) \cdot 5} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.3

Перенесем $5$ влево от $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.5

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{y + 2} d y) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

Этап 2.2.8

Пусть $u_{2} = y - 3$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Пусть $u_{2} = y - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Дифференцируем $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Этап 2.2.8.1.2

По правилу суммы производная $y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.8.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 2.2.10

Упростим.

$- \frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 2$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 3$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\ln (| y + 2 |)$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (| y - 3 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ умножим на $5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ на $5$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5}$ в числитель.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $C$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)} = | y - 3 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}) = \ln (| y - 3 |)$

Этап 3.5.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Развернем $\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)})$ , вынося $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ из логарифма.

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \ln (e) = \ln (| y - 3 |)$

Этап 3.5.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 3 |)$

Этап 3.5.2.3

Умножим $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ на $1$ .

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |) = \ln (| y - 3 |)$

Этап 3.5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 2 |) - \ln (| y - 3 |) = - 5 x - 5 C$

Этап 3.5.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$

Этап 3.5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |})} = e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.6

Перепишем $\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = \frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}$

Этап 3.5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.2

Умножим обе части на $| y - 3 |$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Этап 3.5.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.3.1

Сократим общий множитель $| y - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Этап 3.5.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 2 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Этап 3.5.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ .

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$

Этап 3.5.7.4.2

Разделим каждый член $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ на $e^{- 5 x - 5 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.2.1

Разделим каждый член $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ на $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Этап 3.5.7.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Этап 3.5.7.4.2.2.1.2

Разделим $| y - 3 |$ на $1$ .

$| y - 3 | = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Этап 3.5.7.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Этап 3.5.7.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Этап 3.5.7.4.5

Решим $y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.1

Умножим обе части на $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.1.1

Упростим $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $- 5 x$ и $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $- 5 x$ и $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = y + 2$

Этап 3.5.7.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} - y = 2$

Этап 3.5.7.4.5.3.2

Добавим $3 e^{- 5 C - 5 x}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1 = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.5.3.4

Разделим каждый член $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ на $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ на $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Этап 3.5.7.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Этап 3.5.7.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Этап 3.5.7.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Этап 3.5.7.4.6

Решим $y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.1

Умножим обе части на $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.1.1

Упростим $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $- 5 x$ и $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $- 5 x$ и $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ в числитель.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - (y + 2)$

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 1 \cdot 2$

Этап 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 2$

Этап 3.5.7.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2$

Этап 3.5.7.4.6.3.2

Добавим $3 e^{- 5 C - 5 x}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1 = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ на $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ на $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 (2) + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y = \frac{- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.6.3.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 3.5.7.4.7

Перечислим все решения.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{2 + 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{- 5 x + C}$ в виде $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{- 5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.6

Перепишем $e^{- 5 x + C}$ в виде $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок $e^{- 5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.8

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.9

Перепишем $e^{- 5 x + C}$ в виде $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок $e^{- 5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} + 1}$

Этап 4.11

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} + 1}$

Этап 4.12

Перепишем $e^{- 5 x + C}$ в виде $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} + 1}$

Этап 4.13

Изменим порядок $e^{- 5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} + 1}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 4)$ , рассмотрим $y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$ , чтобы найти $C$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $4$ вместо $y$ .

$4 = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0})}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} = 4$ .

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} = 4$

Этап 6.2

Умножим обе части на $e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1$ .

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.1.1.2

Умножим $e^{C}$ на $e^{- 5 \cdot 0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Перенесем $e^{- 5 \cdot 0}$ .

$2 + 3 (e^{- 5 \cdot 0} e^{C}) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 + 3 e^{- 5 \cdot 0 + C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.1.1.2.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$2 + 3 e^{0 + C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.1.1.2.4

Добавим $0$ и $C$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $e^{C}$ на $e^{- 5 \cdot 0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C - 5 \cdot 0} - 1)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C + 0} - 1)$

Этап 6.3.2.1.1.3

Добавим $C$ и $0$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C} - 1)$

Этап 6.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 + 3 e^{C} = 4 e^{C} + 4 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 e^{C} - 4$

Этап 6.4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $C$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вычтем $4 e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$2 + 3 e^{C} - 4 e^{C} = - 4$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $4 e^{C}$ из $3 e^{C}$ .

$2 - e^{C} = - 4$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- e^{C} = - 4 - 2$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$- e^{C} = - 6$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $- e^{C} = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $- e^{C} = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{C}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{C}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.4.3.2.2

Разделим $e^{C}$ на $1$ .

$e^{C} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$e^{C} = 6$

Этап 6.4.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{C}) = \ln (6)$

Этап 6.4.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Развернем $\ln (e^{C})$ , вынося $C$ из логарифма.

$C \ln (e) = \ln (6)$

Этап 6.4.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (6)$

Этап 6.4.5.3

Умножим $C$ на $1$ .

$C = \ln (6)$

Этап 7

Подставим $\ln (6)$ вместо $C$ в $y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\ln (6)$ вместо $C$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{\ln (6)} e^{- 5 x})}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Этап 7.2

Умножим $e^{\ln (6)}$ на $e^{- 5 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $e^{- 5 x}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{\ln (6)})}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + \ln (6)}}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + \ln (6)}}{e^{\ln (6) - 5 x} - 1}$