Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Этап 4.3.1.2

Добавим $2$ и $4$ .

$- 1 + K = 6$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$K = 6 + 1$

Этап 4.4.2

Добавим $6$ и $1$ .

$K = 7$

Этап 5

Подставим $7$ вместо $K$ в $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $7$ вместо $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$