Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{6}$ .

$v = y^{- 5}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{5}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $v^{\frac{1}{5}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{5}$ и $v^{- \frac{4}{5}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.12

Перенесем $v^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.14

Объединим $\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.15

Перепишем $\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

Этап 5.16

Умножим $\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ на $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.17

Умножим $v^{\frac{4}{5}}$ на $v^{\frac{2}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.17.1

Перенесем $v^{\frac{2}{5}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

Этап 5.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

Этап 5.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

Этап 5.17.4

Добавим $2$ и $4$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{5}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ .

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ умножим на $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ на $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $5 v^{\frac{6}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $5 v^{\frac{6}{5}}$ из $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5

Умножим $v^{- \frac{1}{5}}$ на $v^{\frac{6}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.4

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.5

Разделим $5$ на $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.6

Упростим $- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.10

Объединим $v$ и $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.2.1.11

Перенесем $5$ влево от $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Умножим $- \frac{1}{5} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.2.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.3.2.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.4

Умножим $v^{- \frac{6}{5}}$ на $v^{\frac{6}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.1

Перенесем $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

Этап 7.1.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

Этап 7.1.1.3.4.4

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

Этап 7.1.1.3.4.5

Разделим $0$ на $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

Этап 7.1.1.3.5

Упростим $- 5 x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{5 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.5

Упростим.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 5}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{5}}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{5}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{5 v}{x}$ на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Этап 7.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

Этап 7.3.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Этап 7.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Этап 7.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

Этап 7.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

Этап 7.7.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.7.3.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.7.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.7.3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

Этап 7.7.4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 7.7.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 7.7.5.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 7.7.5.2

Упростим.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 7.7.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.7.5.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Вычтем $\frac{5}{2 x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

Этап 7.8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Этап 7.8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{5}}$ и $v$ .

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Этап 7.8.2

Перенесем все члены без $v$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Добавим $\frac{5}{2 x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

Этап 7.8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.8.3

Умножим обе части на $x^{5}$ .

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Этап 7.8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Этап 7.8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Этап 7.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1

Упростим $(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.3

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{3}$ .

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

Этап 7.8.4.2.1.4

Изменим порядок $\frac{5 x^{3}}{2}$ и $C x^{5}$ .

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

Этап 8

Подставим $y^{- 5}$ вместо $v$ .

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$