Математический анализ Примеры

$(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x y - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x y$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (x - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \cdot 1$

Этап 2.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $x - y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - y$

Этап 2.3.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x - 2 y = 2 x - y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 x - 2 y = 2 x - y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x - 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x (x - y)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x (x - y)$ вместо $N$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 2 y - (2 x) - - y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x - - y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + 1 y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{x - 2 y + y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $- 2 y$ и $y$ .

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x y - y^{2}$ на $x$ .

$(3 x y - y^{2}) x d x + x (x - y) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x y x - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x (x - y)$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x \cdot x (x - y) d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x^{2} (x - y) d y = 0$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x + x^{2} (- y)) d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Этап 6.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Этап 6.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Этап 6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} - x^{2} y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - y^{2} x d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 3 x^{2} y - y^{2} x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - y^{2} x d x$

Этап 8.2

Поскольку $3 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - y^{2} x d x$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{2} x d x$

Этап 8.4

Поскольку $- y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} \int x d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.3

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 8.7.5

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Этап 8.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Этап 8.8.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Этап 8.8.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $y x^{3}$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.3.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.3

Поскольку $- \frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.6

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.7

Объединим $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} y$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.4.8.2.4

Разделим $- x^{2} y$ на $1$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y - x^{3}$

Этап 12.1.2

Добавим $x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + 0 + x^{2} y$

Этап 12.1.3.2

Добавим $- x^{2} y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + x^{2} y$

Этап 12.1.3.3

Добавим $- x^{2} y$ и $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Этап 15.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$