Математический анализ Примеры

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 2.2.2

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Этап 2.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3 x - 2 y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $3 x - 2 y$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $x$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y}{x^{2}}$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5.2.3

Объединим $y$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.2

Добавим $\frac{3}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Этап 14

Найдем первообразную $\frac{3}{x^{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 14.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 14.4

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 14.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 14.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 14.6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 14.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Перепишем $3 (- x^{- 1} + C)$ в виде $3 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 14.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

Этап 14.7.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

Этап 14.7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$