Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sin (x + 3)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sin (x + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (x + 3) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (x + 3) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$y + C_{1} = - \cos (x + 3) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cos (x + 3) + K$