Математический анализ Примеры

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y^{2} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x = 2 x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x y - x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Этап 5.2

Поскольку $2 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Этап 5.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.7.3

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 5.7.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 5.7.5

Чтобы записать $y x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 5.7.6

Объединим $y x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 5.7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Этап 5.7.8

Перенесем $2$ влево от $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Этап 5.7.9

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ по $y$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $2 y x^{2} - x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.3

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 y x^{2}$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.5

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.7

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.8

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.9

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.3.10.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Этап 10

Найдем первообразную $y^{2}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.4

Чтобы записать $y x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.5

Объединим $y x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.7.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.7.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.7.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12.1.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Этап 12.2

Чтобы записать $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Этап 12.3

Чтобы записать $\frac{y^{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.4.3

Умножим $\frac{y^{3}}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Этап 12.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.6

Умножим $3$ на $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 12.6.8

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$