Математический анализ Примеры

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Этап 2.2

Поскольку $- 5 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x y^{2} + 4 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.3.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y^{2}$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = y^{2}$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x y^{2} + 4 y^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x y^{2} + 4 y^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $y^{2}$ из $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Этап 5.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x + 4}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Этап 6.2

Пусть $u = x + 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 6.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 6.2.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 6.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 6.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- \ln (| x + 4 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 5 x$ на $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Объединим $x$ и $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x y^{2} + 4 y^{2}$ на $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $x y^{2} + 4 y^{2}$ на $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.7

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.7.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.7.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Этап 7.8.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 12.3

Поскольку $\frac{1}{3} y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 12.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Этап 13

Найдем первообразную $- \frac{5 x}{x + 4}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Этап 13.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Этап 13.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Этап 13.6

Разделим $x$ на $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Этап 13.6.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Этап 13.6.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Этап 13.6.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 4$ .

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Этап 13.6.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Этап 13.6.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Этап 13.7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Этап 13.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Этап 13.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Этап 13.10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Этап 13.11

Умножим $4$ на $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Этап 13.12

Пусть $u = x + 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Пусть $u = x + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 13.12.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 13.12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 13.12.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 13.12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 13.12.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13.13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Этап 13.14

Упростим.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Этап 13.15

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Этап 15.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Упростим $- 4 \ln (| x + 4 |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Этап 15.1.2.2

Уберем знак модуля в ${| x + 4 |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Этап 15.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Этап 15.1.4

Умножим $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Этап 15.1.4.2

Упростим $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Этап 15.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Этап 15.1.5.2

Умножим $4$ на $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Этап 15.2

Чтобы записать $\ln ({(x + 4)}^{20})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 15.3

Объединим $\ln ({(x + 4)}^{20})$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Умножим $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1.1

Изменим порядок $\ln ({(x + 4)}^{20})$ и $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Этап 15.5.1.2

Упростим $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Этап 15.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Этап 15.5.2.2

Умножим $20$ на $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$