Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 1) = 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \cot (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $- 1$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$8 = \ln (| \sin (- 1) |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$ .

$\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Найдем значение $\sin (- 1)$ .

$\ln (| - 0.0174524 |) + C = 8$

Этап 4.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 0.0174524$ и $0$ равно $0.0174524$ .

$\ln (0.0174524) + C = 8$

Этап 4.3

Вычтем $\ln (0.0174524)$ из обеих частей уравнения.

$C = 8 - \ln (0.0174524)$

Этап 5

Подставим $8 - \ln (0.0174524)$ вместо $C$ в $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $8 - \ln (0.0174524)$ вместо $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 8 - \ln (0.0174524)$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим на $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $0.0174524$ из $0.0174524$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524 (1)}) + 8$

Этап 5.3.3

Разделим дроби.

$y = \ln (\frac{1}{0.0174524} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Этап 5.3.4

Разделим $1$ на $0.0174524$ .

$y = \ln (57.29868849 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Этап 5.3.5

Разделим $| \sin (x) |$ на $1$ .

$y = \ln (57.29868849 | \sin (x) |) + 8$