Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{36}$ в виде ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.2

Умножим $6$ на $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.4.4

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $6 \arctan (6 x) = t + K$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $6 \arctan (6 x) = t + K$ на $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\arctan (6 x)$ на $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арктангенса.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $2$ вместо $x$ в $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Этап 6.4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $K$ из тангенса.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Этап 6.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим противоположные члены в $\frac{0}{6} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Разделим $0$ на $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Этап 6.5.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = \arctan (12)$

Этап 6.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Найдем значение $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Этап 6.7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Этап 6.8

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Избавимся от скобок.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Этап 6.8.2

Избавимся от скобок.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Этап 6.8.3

Добавим $3.14159265$ и $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Этап 6.9

Найдем период $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.9.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.10

Период функции $\tan (\frac{0}{6} + K)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.11

Объединим $1.48765509 + π n$ и $4.62924774 + π n$ в $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Этап 7

Подставим $1.48765509 + π n$ вместо $K$ в $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1.48765509 + π n$ вместо $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$