Математический анализ Примеры

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{2 \ln (x)}{x}$ и $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2 d x$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 d x$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3.3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ в виде $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2

Разделим $d x$ на $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$