Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y \tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- 1 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sec^{- 1} (x)$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Этап 2.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 2.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Этап 2.9

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем круглые скобки.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2.1.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2.1.3

Добавим круглые скобки.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2.1.4

Выразим $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общие множители.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.2.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 7.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7.2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 7.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Этап 7.6.2.3

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ на $\cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.2

Разделим дроби.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Этап 8.3.1.4

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$