Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ , $y (1) = 10$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x}{1}$

Этап 1.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = x$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = x$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 6}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{6}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{6}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{6 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x \cdot x^{5}} x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{5}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 7.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 7.1.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 5} d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $- \frac{1}{4} x^{- 4} + C$ в виде $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{4}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Этап 7.3.2.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{1}{4 x^{4}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{6}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{1}{4 x^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{4 x^{4}}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4 x^{4}}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{4 x^{4}} x^{6} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} x^{6} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x^{2}) + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1}{4} x^{2} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.3

Объединим $\frac{- 1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + C x^{6}$

Этап 8.4.2.1.4.2

Изменим порядок $- \frac{x^{2}}{4}$ и $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $10$ вместо $y$ в $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$10 = C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$ .

$C \cdot 1^{6} - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$C \cdot 1 - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Этап 10.2.2

Умножим $C$ на $1$ .

$C - \frac{1^{2}}{4} = 10$

Этап 10.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$C - \frac{1}{4} = 10$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$C = 10 + \frac{1}{4}$

Этап 10.3.2

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$C = 10 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 10.3.3

Объединим $10$ и $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 10.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{10 \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 10.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1

Умножим $10$ на $4$ .

$C = \frac{40 + 1}{4}$

Этап 10.3.5.2

Добавим $40$ и $1$ .

$C = \frac{41}{4}$

Этап 11

Подставим $\frac{41}{4}$ вместо $C$ в $y = C x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $\frac{41}{4}$ вместо $C$ .

$y = \frac{41}{4} x^{6} - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{41}{4}$ и $x^{6}$ .

$y = \frac{41 x^{6}}{4} - \frac{x^{2}}{4}$