Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x \sin (x))}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = x \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Перепишем $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ в виде $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$