Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перепишем $\frac{\ln (| x |)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Этап 3.3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3.6.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$