Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x}{1}$

Этап 1.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = x$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 3}{x} = x$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3}{x} y = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 3}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 3}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{3}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{3 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{- 2} d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - x^{- 1} + C$

Этап 7.3

Перепишем $- x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - \frac{1}{x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{1}{x} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{3}} - C = - \frac{1}{x}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{x} + C) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{x} x^{3} + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x^{2} + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + C x^{3}$

Этап 8.4.2.1.3.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $C x^{3}$ .

$y = C x^{3} - x^{2}$