Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 y - 5}$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 5} \cdot \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 5} \cdot \frac{2 y - 5}{- 7 x + 9}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 x + 9}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x) + 9}$

Этап 1.2.3

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x) - 1 (- 9)}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- (7 x - 9)}$

Этап 1.2.5

Перепишем $- (7 x - 9)$ в виде $- 1 (7 x - 9)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 (7 x - 9)}$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2 y - 5} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{7 x - 9}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 y - 5$ . Тогда $d u_{1} = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 y - 5$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{7 x - 9} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 7 x - 9$ . Тогда $d u_{2} = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 7 x - 9$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $7 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $7$ и $0$ .

$7$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $7$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x - 9$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{7} \ln (| 7 x - 9 |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\ln (| 7 x - 9 |)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 7 x - 9 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + C \cdot 7}{7}$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $7$ влево от $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C}{7}$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 7 x - 9 |) + 7 C)}{7}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| 7 x - 9 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |)) + 7 C)}{7}$

Этап 3.2.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $7 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |)) - (- 7 C))}{7}$

Этап 3.2.2.1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (| 7 x - 9 |)) - (- 7 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C))}{7}$

Этап 3.2.2.1.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.5.1

Перепишем $- (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)$ в виде $- 1 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C))}{7}$

Этап 3.2.2.1.5.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} = | 2 y - 5 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}$

Этап 3.5.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}}}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) - 7 C)}{7}} + 5}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 7 x - 9 |) + C)}{7}} + 5}{2}$