Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{3}{2 t + 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Этап 2.2.2

Пусть $u = 2 t + 25$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = 2 t + 25$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Этап 2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $2 t + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 2.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 2.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 2.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{3}{2 t + 25}$ и $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.2

Объединим ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2 t + 25$ из ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим на $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.4.2

Сократим общий множитель.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.4.3

Перепишем это выражение.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.4.4

Разделим ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ на $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7.2

Пусть $u = 2 t + 25$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = 2 t + 25$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Этап 7.2.1.2

По правилу суммы производная $2 t + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 7.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 7.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 7.2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Этап 7.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.4.1

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 7.2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Этап 7.3

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.5.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.5.3

Умножим $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ на $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8

Разделим каждый член ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ на ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ на ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.3

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Объединим $C$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.5

Перенесем $5$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3.7

Умножим $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ на $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$