Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{4}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2})$

Этап 2.3.4.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3 x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{3})} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$