Математический анализ Примеры

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = \frac{1}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (x y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y^{1})} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{1 + 1}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{x y}$

Этап 1.1.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Этап 1.1.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Этап 1.1.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $- \frac{y}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем $y \cdot y^{2}$ в виде $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{x y^{2}}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

Этап 1.5.2

Объединим.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $1 + y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

Этап 1.5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Тогда $d u = - 3 y^{2} d y$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 - y$ и $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 + y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Этап 2.2.1.1.3.6

По правилу суммы производная $1 - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.2.1.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.2.1.1.3.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.1.1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.1.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.2.1.1.3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

Этап 2.2.1.1.3.11.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

Этап 2.2.1.1.3.11.3

Перепишем $- 1 (1 + y + y^{2})$ в виде $- (1 + y + y^{2})$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

Этап 2.2.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.9

Добавим $- y$ и $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.11

Вычтем $1$ из $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.12

Добавим $y - 2 y^{2}$ и $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.13

Вычтем $y$ из $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.14

Добавим $- 2 y^{2}$ и $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

Этап 2.2.1.1.4.5.15

Вычтем $y^{2}$ из $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Развернем $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.6.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.1

Объединим противоположные члены в $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.1.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.2

Добавим $1 + y^{2}$ и $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.3

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.2

Объединим $\ln (| 1 - y^{3} |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.4.2

Умножим $\ln (| 1 - y^{3} |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Этап 3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Этап 3.7.2

Разделим каждый член $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ на ${| x |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Разделим каждый член $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 3.7.2.2.1.2

Разделим $| 1 - y^{3} |$ на $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 3.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Этап 3.7.5

Разделим каждый член $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Разделим каждый член $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.7.5.2.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.7.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ в виде $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.7.5.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Этап 3.7.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$