Математический анализ Примеры

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(x + 2) d x$ из обеих частей уравнения.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Этап 3.6

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Этап 3.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 4.3.7

Упростим.

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Разделим каждый член $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ в виде $- (- 2 \ln (| x |))$ .

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- (- 2 \ln (| x |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.5.3

Умножим $\ln ({| x |}^{2})$ на $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.6

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Этап 5.3.1.8

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$