Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{u + 2}{u + 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{u + 1}{u + 2}$ на $\frac{t + 1}{t - 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $u + 2$ на $u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$1$

$u$

$2$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u + 1$ .

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.4

Пусть $u_{1} = u + 1$ . Тогда $d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u_{1} = u + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $u + 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u + 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $t + 1$ на $t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

$t$

$1$

$t$

$1$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t - 1$ .

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{2} = t - 1$ . Тогда $d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{2} = t - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t - 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$