Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 9$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 9}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 9} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 9} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $9$ .

$\int \frac{1}{9 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{3^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1}$ в виде $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Каждый член в $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим каждый член $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Этап 3.1.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Этап 3.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Этап 3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{y}{3}) = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 \cdot x + K \cdot 3$

Этап 3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 x + 3 K$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$\frac{y}{3} = \tan (3 x + 3 K)$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Этап 3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 3 \tan (3 x + K)$