Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Тогда $d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $t + \frac{π}{12}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $\frac{π}{12}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π}{12}$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.3

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 2.3.6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 2.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 2.3.9

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 2.3.9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.3.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 2.3.10

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 2.3.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 2.3.12

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Этап 2.3.13

Упростим.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Этап 2.3.14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Этап 2.3.14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Этап 2.3.14.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Этап 2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Этап 2.3.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Этап 2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Этап 2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Этап 2.3.15.3

Объединим $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ и $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.15.4

Применим свойство дистрибутивности.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.15.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.5.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.1.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.1.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ в числитель.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.2.3

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.2.4

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Этап 2.3.15.5.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $3$ вместо $s$ в $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ .

$3 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$ .

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.3

Добавим $0$ и $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.1.5.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.1.5.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 1 + K = 3 - \frac{π}{3}$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$K = 3 - \frac{π}{3} + 1$

Этап 4.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$K = 4 - \frac{π}{3}$

Этап 5

Подставим $4 - \frac{π}{3}$ вместо $K$ в $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $4 - \frac{π}{3}$ вместо $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4 - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Этап 5.2.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$

Этап 5.4

Добавим $4 t$ и $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 4$