Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 2.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Этап 4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| v |) = x + C_{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Этап 4.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Этап 4.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{x + C_{3}}$ в виде $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C_{4} e^{x}$

Этап 6

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Этап 7

Перепишем уравнение.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Этап 8

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Этап 8.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $C_{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Этап 8.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Этап 8.3.3

Упростим.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Этап 8.3.4

Изменим порядок членов.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Этап 8.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = e^{x} C + D$