Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Этап 5.1.1.1.2

Вычтем $V$ из $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Этап 5.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $3 - 2 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 5.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Пусть $u = 3 - 2 V$ . Тогда $d u = - 2 d V$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Пусть $u = 3 - 2 V$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Дифференцируем $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Этап 5.2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 2 V$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $V$ , производная $3$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Этап 5.2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $V$ , производная $- 2 V$ по $V$ равна $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Этап 5.2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 5.2.2.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 5.2.2.1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 5.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Этап 5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 3 - 2 V |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 3 - 2 V |)$ на $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 5.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Этап 5.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Этап 5.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Упростим $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Этап 5.3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Этап 5.3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Этап 5.3.4.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Этап 5.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Этап 5.3.6

Перепишем $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Этап 5.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Этап 5.3.7.2

Разделим каждый член $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Разделим каждый член $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.7.2.2.1.2

Разделим $| 3 - 2 V |$ на $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.7.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Этап 5.3.7.5

Разделим каждый член $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.5.1

Разделим каждый член $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 5.3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 5.3.7.5.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 5.3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.5.3.1.1

Упростим $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Этап 5.3.7.5.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 7

Решим $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Объединим $C$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2.1.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2.1.1.3

Объединим.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2.1.1.4

Умножим $C$ на $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2.1.1.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Этап 7.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Этап 7.2.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Этап 7.2.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Этап 7.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Этап 7.2.2.1.2.4

Изменим порядок $\frac{C}{2 x}$ и $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$