Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (6 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{e^{y}}$ и $\cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $6 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 6 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 6 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = 6 \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int 6 \cos (x) d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 (\sin (x) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = 6 \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = 6 \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (6 \sin (x) + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (6 \sin (x) + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (6 \sin (x) + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (6 \sin (x) + K)$