Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 7.3

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Этап 7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Этап 7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим $(\frac{x^{2}}{2} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + C x$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим $\frac{x^{2}}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + C x$

Этап 7.4.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + C x$

Этап 7.4.2.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + C x$

Этап 7.4.2.1.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x$