Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\arcsin (x)$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.5.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + K$