Математический анализ Примеры

$x^{2} d x + 2 y d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$2 y d y = - x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y d y = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$

Этап 3.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$

Этап 3.2.5

Перепишем $\sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.7.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Этап 3.2.9

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$