Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} (y - 21)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 21}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 21} (- \frac{1}{49} (y - 21))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{y - 21} (y - 21)$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{y - 21}$ на $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(y - 21) \cdot 49}$ в числитель.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $y - 21$ из $(y - 21) \cdot 49$ .

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) (49)} (y - 21)$

Этап 1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{(y - 21) \cdot 49} (y - 21)$

Этап 1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{49}$

Этап 1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y - 21} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{49}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 21} d y = - \frac{1}{49} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 21} d y = \int - \frac{1}{49} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 21$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 21$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 21$ .

$\frac{d}{d y} [y - 21]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 21$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 21$ является константой относительно $y$ , производная $- 21$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{49} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 21$ .

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{49} d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y - 21 |) + C_{1} = - \frac{1}{49} t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - 21 |)} = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y - 21 |) = - \frac{1}{49} t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{49} t + C} = | y - 21 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{1}{49} t + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $t$ и $\frac{1}{49}$ .

$| y - 21 | = e^{- \frac{t}{49} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 21 = \pm e^{- \frac{t}{49} + C}$

Этап 3.3.4

Добавим $21$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{- \frac{t}{49} + C} + 21$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{t}{49} + C}$ в виде $e^{- \frac{t}{49}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t}{49}} e^{C} + 21$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{t}{49}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t}{49}} + 21$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{t}{49}} + 21$