Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 3 x - 5$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{3} + x^{2} \cdot - 5$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 5$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{3} - 5 x^{2}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 3 x^{3} - 5 x^{2}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 3 x^{3} - 5 x^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int 3 x^{3} - 5 x^{2} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{2} y = \int 3 x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = 3 \int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 5 x^{2} d x$

Этап 6.4

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 \int x^{2} d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим.

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 6.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 6.6.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} + \frac{- 5}{3} x^{3} + C$

Этап 6.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{3}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{3}{4} x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- \frac{5}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- \frac{5}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3.2.4

Разделим $- \frac{5}{3} x$ на $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{5}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$